正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)是不可積的,雖然它的原函數(shù)(即不定積分)存在,但不能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái).
習(xí)慣上,如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái),就說(shuō)這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”,否則就說(shuō)它是“積不出”的函數(shù).比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù),但是這些積分在概率論,數(shù)論,光學(xué),傅里葉分析等領(lǐng)域起著重要作用.
（1）∫e^(-x²)dx；（2）∫(sinx)/xdx；
（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx²dx；
（5）∫根號(hào)(a²sin²x+b²cos²x)dx(a²≠b²)
標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：Φ(x)=[1/根號(hào)(2π)]∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx
這個(gè)函數(shù)是不可積的,但是它的原函數(shù)是存在的,只是不能用初等函數(shù)表示而已.習(xí)慣上,如果一個(gè)已給的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表達(dá)出來(lái),就說(shuō)這函數(shù)是“積得出的函數(shù)”,否則就說(shuō)它是“積不出”的函數(shù).比如下面列出的幾個(gè)積分都是屬于“積不出”的函數(shù) ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是從別人那粘貼過(guò)來(lái)的..原函數(shù)我也不知道,___________________________________ 下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞,下限為0） 因?yàn)閟int/t不存在初等函數(shù)的原函數(shù),所以下面引入一個(gè)“收斂因子”e^(-xt)(x>=0),轉(zhuǎn)而討論含參量的積分.I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (積分上限為∞,下限為0） 顯然：I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0） I`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x dt (積分上限為∞,下限為0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞,下限為0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞,下限為0） =-1/(1+x^2) 從而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(對(duì)t的積分原函數(shù),上限為∞,下限為0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 對(duì)（1）式兩端取極限：lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)
=-π/2+C 即有0=-π/2+C,可得C=π/2 于是（1）式為 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為0）=π/2 因?yàn)閟inx/x是偶函數(shù),所以 ∫sint/tdt(積分上限為∞,下限為-∞） =π .