在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透集合思想的幾點(diǎn)做法

集合是近代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念.集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向小學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要標(biāo)志,在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),若是運(yùn)用集合思想,可以使問(wèn)題解決得更簡(jiǎn)單明了.集合論的創(chuàng)始人是德國(guó)的數(shù)學(xué)家康托（1845——1918）,其主要思想方法可歸結(jié)為三個(gè)原則,即概括原則、外延原則、一一對(duì)應(yīng)原則.自集合論創(chuàng)立以來(lái),它的概念、思想和方法已經(jīng)滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中,成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707——1787）最早使用了表示兩個(gè)非空集之間的關(guān)系的圖,現(xiàn)稱歐拉圖.英國(guó)數(shù)學(xué)家維恩最早使用了另一種圖即可以用于表示任意的幾個(gè)集合（不論它們之間的關(guān)系如何,都可以畫成同一樣式）,又稱“維恩圖”,用維恩圖表示集合,有助于探索某些數(shù)學(xué)題的解決思路.
布魯納曾說(shuō),掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶,領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”.數(shù)學(xué)思想方法不但對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)具有普遍的指導(dǎo)意義,而且有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣.
集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對(duì)應(yīng)思想等,作為數(shù)學(xué)思想方法的一種,在教學(xué)中是具有很大的指導(dǎo)意義的.那么,在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)該如何應(yīng)用集合思想進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)呢?
一、集合概念在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
集合思想的概念在教學(xué)中是不必向?qū)W生作解釋的,教師主要指導(dǎo)學(xué)生看懂集合圖的意思,會(huì)根據(jù)集合圖來(lái)解題或者幫助解題.圖形本身直觀地應(yīng)用了集合的表示方法——圖示法,因此在小學(xué)低年級(jí)中運(yùn)用這個(gè)方法對(duì)于教學(xué)是很有幫助的.
在認(rèn)數(shù)教學(xué)中,教師要結(jié)合各種集合圖,可以是選用書本上的,也可以是選用一些生活中常見(jiàn)的事物自己畫.同時(shí)還可以反過(guò)來(lái)給學(xué)生一個(gè)數(shù)字,讓學(xué)生畫集合圖,這樣既可以讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋發(fā)揮自己的想象,也可以讓學(xué)生更了解集合中的元素與基數(shù)概念的聯(lián)系.
在日常教學(xué)中,教師還要讓學(xué)生理解一些用來(lái)描述集合的常用術(shù)語(yǔ),如“一些”、“一堆”、“一組”、“一群”等.比如說(shuō),在小學(xué)數(shù)學(xué)教材北師大版一年級(jí)（上冊(cè)）的第四單元分類中,就出現(xiàn)了這么一張圖,讓學(xué)生觀察,要求把玩具放一堆,文具放一堆,服裝鞋帽放一堆,這種把具有同一種屬性的東西放在一起,這就是集合的整體概念.
在認(rèn)識(shí)0-10的十一個(gè)數(shù)字中,每個(gè)數(shù)字都有一張相應(yīng)的集合圖,也就是告訴學(xué)生,一個(gè)集合中有幾個(gè)元素就用“幾”來(lái)表示.如北師大版一年級(jí)（上冊(cè)）第4頁(yè)找一找的活動(dòng)中“1”可以表示圖里的一座房子；“2”可以表示圖里的兩個(gè)人.這就很形象的把集合中的元素與基數(shù)的概念有機(jī)的聯(lián)系起來(lái).
二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
1、子集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
教學(xué)數(shù)的大小這一問(wèn)題時(shí),就可以應(yīng)用子集思想.如北師大版二年級(jí)(下冊(cè))第36頁(yè)試一試中,給出一些數(shù),組成一個(gè)數(shù)的集合,元素有387、99、809、 345、1725、4300等.同時(shí)給出要求,先把給出的數(shù)分類,再比較大小.這把數(shù)分類就相當(dāng)于是把整個(gè)數(shù)的集合中的元素,按要求分別把他們放入三個(gè)子集合中.（如下圖） 對(duì)于這類問(wèn)題,應(yīng)用集合思想就能讓學(xué)生非常直觀、容易地理解.
2、 交集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
如有這么一道應(yīng)用題：一個(gè)班有48人.班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完了數(shù)學(xué)作業(yè)?”這時(shí)有42人舉手.又問(wèn)：“誰(shuí)做完了語(yǔ)文作業(yè)?”這時(shí)有37人舉手.最后又問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有做完?”沒(méi)有人舉手.請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人?
一看這道題就會(huì)想到要用維恩圖來(lái)算比較簡(jiǎn)單.畫一個(gè)長(zhǎng)方形表示全集,完成語(yǔ)文作業(yè)的學(xué)生集合（A）,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的學(xué)生集合（B）,A、B有相交部分
因?yàn)锳內(nèi)的兩部分表示人數(shù)和就是完成語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)（37人）,所以A外、B內(nèi)的那部分表示的人數(shù)為48-37=11（人）,者是 完成了數(shù)學(xué)作業(yè)但沒(méi)有完成語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù).因此,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種作業(yè)都完成了的人數(shù)是42-11=31人.
教學(xué)公約數(shù)、公倍數(shù)這一內(nèi)容時(shí),也通常應(yīng)用交集思想,如 ：
12的約數(shù)18的約數(shù)
3、并集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
在小學(xué)一年級(jí)的教材中,并集被用于說(shuō)明加法的意義,如北師大版一年級(jí)（上冊(cè)）第22頁(yè)解決“有幾只鉛筆”這個(gè)問(wèn)題,一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆,右手里拿了三只鉛筆,另一幅中小朋友把兩只手合在一起,就是把左手和右手中的鉛筆并在一起.2＋3＝5（只）
還有北師大版一年級(jí)(上冊(cè))第68頁(yè)11～20各數(shù)的認(rèn)識(shí)中,對(duì)于“11”,先把10根小棒捆成一捆,組成十位上的“1”,然后再數(shù)1根組成“11”了.同理在教學(xué)12、13、14、15等數(shù)時(shí),也都應(yīng)該采用并集思想.
又如,北師大版一年級(jí)(上冊(cè))第72頁(yè):9＋5＝? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結(jié)合在一起,組成十根捆在一起,作為十位上的“1”,這也運(yùn)用了并集思想.
4、差集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
在小學(xué)一年級(jí)的教材中,差集被用于說(shuō)明減法的意義.如北師大版一年級(jí)（上冊(cè)）第26頁(yè)“摘果子”樹(shù)上原有5個(gè)蘋果,被小朋友摘走2個(gè),就剩下樹(shù)上（集合）的3個(gè)蘋果（元素）：5－2＝3（個(gè)）
又比如說(shuō)還是本頁(yè)的“做一做”：圖中總共有5個(gè)圓圈,其中4個(gè)圓圈用線劃去,表示去掉的,就剩下5－4＝1（個(gè)）了.在教材中一般用線劃去或虛線圈起來(lái)的都是要剪掉的部分.
5、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
空集表示這個(gè)集合沒(méi)有元素.空集思想的應(yīng)用主要出現(xiàn)在教學(xué)“0”的時(shí)候,如北師大版一年集（上冊(cè)）第8頁(yè)“小貓釣魚(yú)”,每只小貓的袋子表示集合,袋子里的魚(yú)表示元素.第一幅圖里,袋子里有三條魚(yú),該集合里有3個(gè)元素；第二幅圖里,袋子里有兩條魚(yú),該集合里有2個(gè)元素；第三幅圖里,袋子里有一條魚(yú),該集合里有1個(gè)元素；第四幅圖里,袋子沒(méi)有魚(yú),該集合中沒(méi)有元素,也就是空集.
三、一一對(duì)應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
一一對(duì)應(yīng)思想在教材中體現(xiàn)的較多,在比較兩個(gè)集合所包含的元素的多少時(shí)就一定得用建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法來(lái)解決,同時(shí),“一一對(duì)應(yīng)”思想也是現(xiàn)代函數(shù)思想的基礎(chǔ).一一對(duì)應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要以兩種形式呈現(xiàn)：第一種是比多少,第二種是由一個(gè)集合經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)法則得到另一個(gè)集合.
在教學(xué)比多少時(shí),教師首先要把集合中的元素一一的排列起來(lái).如北師大版一年級(jí)（上冊(cè)）第43頁(yè)：
比 多
比 少
在教學(xué)第二種情況,一個(gè)集合經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)法則得到另一個(gè)集合時(shí),教師要向?qū)W生解釋清楚對(duì)應(yīng)法則是對(duì)已給出的集合中的每一個(gè)元素都起作用的.
如人教版三年級(jí)（下冊(cè)）第23頁(yè)
這類算式與算式的配對(duì),也正是一一對(duì)應(yīng)思想的應(yīng)用.
數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教師的首要責(zé)任是盡其一切可能,來(lái)發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的能力.”教師在問(wèn)題探索的教學(xué)中不能就題論題,授之以“漁”遠(yuǎn)比授之以“魚(yú)”來(lái)的重要.這個(gè)“漁”就是指隱含于數(shù)學(xué)問(wèn)題探索中的數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)生只有逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動(dòng),才會(huì)在遇到其它問(wèn)題時(shí)胸有成竹,從容對(duì)待.新課標(biāo)也指出：結(jié)合有關(guān)知識(shí)的教學(xué),適當(dāng)?shù)臐B透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法,以加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解.作為數(shù)學(xué)教師,在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)大膽地應(yīng)用集合思想,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得對(duì)集合思想的感性認(rèn)識(shí),并逐步形成運(yùn)用集合思想的觀念.