若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù)F(x),則f(x)在[a,b]上可積,且
　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)
　　這即為牛頓—萊布尼茨公式.
　　牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來,也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法.下面就是該公式的證明全過程：
　　我們知道,對函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達為：
　　b(上限)∫a（下限）f(x)dx
　　現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個變量,這樣我們就定義了一個新的函數(shù)：
　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
　　但是這里x出現(xiàn)了兩種意義,一是表示積分上限,二是表示被積函數(shù)的自變量,但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個定值是沒意義的.為了只表示積分上限的變動,我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t,這樣意義就非常清楚了：
　　Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
　　接下來我們就來研究這個函數(shù)Φ(x）的性質(zhì)：
　　1、定義函數(shù)Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,則Φ’(x)=f(x).
　　證明：讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx,則對應(yīng)的函數(shù)增量
　　ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
　　顯然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
　　而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間,可由定積分中的中值定理推得,
　　也可自己畫個圖,幾何意義是非常清楚的.)
　　當Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時,ξ趨向于x,f(ξ)趨向于f(x),故有l(wèi)im Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
　　可見這也是導數(shù)的定義,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
　　2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函數(shù).
　　證明：我們已證得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
　　但Φ(a)=0（積分區(qū)間變?yōu)閇a,a],故面積為0）,所以F（a）=C
　　于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,當x=b時,Φ(b)=F（b)-F(a),
　　而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
　　把t再寫成x,就變成了開頭的公式,該公式就是牛頓-萊布尼茨公式.