若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),且存在原函數(shù)F(x),則f(x)在[a,b]上可積,且 b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 這即為牛頓—萊布尼茨公式.牛頓-萊布尼茨公式的意義就在于把不定積分與定積分聯(lián)系了起來,也讓定積分的運(yùn)算有了一個(gè)完善、令人滿意的方法.下面就是該公式的證明全過程：
編輯本段對(duì)函數(shù)f(x)于區(qū)間[a,b]上的定積分表達(dá)為：
b∫a*f(x)dx 現(xiàn)在我們把積分區(qū)間的上限作為一個(gè)變量,這樣我們就定義了一個(gè)新的函數(shù)：Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是這里x出現(xiàn)了兩種意義,一是表示積分上限,二是表示被積函數(shù)的自變量,但定積分中被積函數(shù)的自變量取一個(gè)定值是沒意義的.為了只表示積分上限的變動(dòng),我們把被積函數(shù)的自變量改成別的字母如t,這樣意義就非常清楚了：Φ(x)= x∫a*f(t)dt
編輯本段研究這個(gè)函數(shù)Φ(x）的性質(zhì)：
1、定義函數(shù)Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,則Φ 與格林公式和高斯公式的聯(lián)系
’(x)=f(x).證明：讓函數(shù)Φ(x)獲得增量Δx,則對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量 ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt 顯然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間,可由定積分中的中值定理推得,也可自己畫個(gè)圖,幾何意義是非常清楚的.) 當(dāng)Δx趨向于0也就是ΔΦ趨向于0時(shí),ξ趨向于x,f(ξ)趨向于f(x),故有l(wèi)im Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x) 可見這也是導(dǎo)數(shù)的定義,所以最后得出Φ’(x)=f(x).2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函數(shù).證明：我們已證得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x） 但Φ(a)=0（積分區(qū)間變?yōu)閇a,a],故面積為0）,所以F（a）=C 于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,當(dāng)x=b時(shí),Φ(b)=F（b)-F(a),而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a) 把t再寫成x,就變成了開頭的公式,該公式就是牛頓-萊布尼茨公式.
例子：求由∫（下限為2,上限為y）e^tdt+∫（下限為o,上限為x）costdt=0所確定的隱函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)dy/dx
求1,∫（下限為-1,上限為1）(x-1)^3dx 2,求由∫（下限為0,上限為5）|1-x|dx 3,求由∫（下限為-2,上限為2）x√x^2dx
e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).
1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4;
2).∫（下限為0,上限為5）|1-x|dx=-∫（下限為0,上限為1）x-1dx+
∫（下限為1,上限為5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2;
x√x^2是奇函數(shù),所以∫（下限為-2,上限為2）x√x^2dx=0