默認(rèn)你知道整數(shù)環(huán)Z是一個(gè)主理想整環(huán),即任意理想均具有的形式.
必要性:我們證明若p不是素?cái)?shù),則
不是極大理想.
由p不是素?cái)?shù),存在整數(shù)a ≠ ±1,使得a整除p但p不整除a (只要取a為p的非平凡的約數(shù)即可).
由a整除p,
包含于,而p不整除a,故a不在
中,
真包含于.
又a ≠ ±1,≠ Z是真包含
的(非平凡)理想,故
不是極大理想.
充分性:即若p是素?cái)?shù),則
是極大理想.
設(shè)理想真包含
,有a整除p.
由p是素?cái)?shù),知a = ±1,±p.
而若a = ±p,易見 =
,故a = ±1,得 = Z.
Z中不存在真包含
的(非平凡)理想,即
為極大理想.