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  • 已知橢圓的方程2x^2+y^2=2,過一焦點(diǎn)的直線與橢圓交與A、B兩點(diǎn).求三角形ABO(O為原點(diǎn))的面積的最大值

    已知橢圓的方程2x^2+y^2=2,過一焦點(diǎn)的直線與橢圓交與A、B兩點(diǎn).求三角形ABO(O為原點(diǎn))的面積的最大值
    具體!
    數(shù)學(xué)人氣:552 ℃時(shí)間:2019-08-19 07:47:07
    優(yōu)質(zhì)解答
    2x²+y²=2
    x²+y²/2=1
    a²=2,b²=1,c²=2-1=1
    焦點(diǎn)(0,1)(0,-1)
    設(shè)過焦點(diǎn)的直線為y=kx+1
    代入
    2x²+k²x²+2kx+1=2
    (k²+2)x²+2kx-1=0
    x1+x2=-2k/(k²+2)
    x1×x2=-1/(k²+2)
    原點(diǎn)到AB的距離d=1/√(1+k²)
    S△AOB=1/2×1/√(1+k²)×√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
    =√[k²/(k²+2)²+/(k²+2)]
    =√(k²+k²+2)/(k²+2)²
    =√2×√(k²+1)/(k²+2)²
    =√2×√[1/(k²+2)-1/(k²+2)²]
    令y=1/(k²+2)-1/(k²+2)²,x=1/(k²+2)
    y=x-x²=-(x²-x)=-(x-1/2)²+1/4
    當(dāng)x=1/2時(shí),y有最大值=1/4
    此時(shí)k=0
    S三角形最大值=√2/2
    當(dāng)直線過焦點(diǎn)(0,-1)時(shí),
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