向量范數(shù)
定義1. 設(shè) ,滿足
1.正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0
2.齊次性:║cx║=│c│║x║,
3.三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║
則稱Cn中定義了向量范數(shù),║x║為向量x的范數(shù).
可見向量范數(shù)是向量的一種具有特殊性質(zhì)的實值函數(shù).
常用向量范數(shù)有,令x=( x1,x2,…,xn)T
1-范數(shù):║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│
2-范數(shù):║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2
∞-范數(shù):║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)
易得║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞
定理1.Cn中任意兩種向量范數(shù)║x║α,║x║β是等價的,即有m,M>0使
m║x║α≤║x║β≤M║x║
可根據(jù)范數(shù)的連續(xù)性來證明它.由定理1可得
定理2.設(shè){x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,則
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→
∞)
其中xj(k)是x(k)的第j個分量,xj是x的第j個分量.此時稱{x(k)}收斂于x,記作x(k)
→x(k→∞),或 .
三、 矩陣范數(shù)
定義2. 設(shè) ,滿足
1.正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0
2.齊次性:║cX║=│c│║X║,
3.三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║
4.相容性: ║XY║≤║X║║Y║
則稱Cn×n中定義了矩陣范數(shù),║X║為矩陣X的范數(shù).
注意, 矩陣X可視為n2維向量,故有前三條性質(zhì).因此定理1,2中向量的等價性和向量
序列收斂的概念與性質(zhì)等也適合于矩陣.第四條,是考慮到矩陣乘法關(guān)系而設(shè).更有矩
陣向量乘使我們定義矩陣范數(shù)向量范數(shù)的相容性:
║Ax║≤║A║║x║
所謂由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)與該向量范數(shù)就是相容的.
定理3. 設(shè)A是n×n矩陣,║?║是n維向量范數(shù)則
║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}
是一種矩陣范數(shù),稱為由該向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)或算子范數(shù),它們具有相容性
或者說是相容的.
單位矩陣的算子范數(shù)為1
可以證明任一種矩陣范數(shù)總有與之相容的向量范數(shù).例如定義:
║x║=║X║,X=(xx…x)
常用的三種向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)是
1-范數(shù):║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=
2-范數(shù):║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的
最大特征值.
∞-范數(shù):║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=
此外還有Frobenius范數(shù): .它與向量2-范數(shù)相容.但非向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù).
四、 矩陣譜半徑
定義3.設(shè)A是n×n矩陣,λi是其特征值,i=1,2,…,n.稱
為A的譜半徑.
譜半徑是矩陣的函數(shù),但非矩陣范數(shù).對任一矩陣范數(shù)有如下關(guān)系:
ρ(A)≤║A║
因為任一特征對λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.兩邊取范數(shù),由矩陣范數(shù)的
相容性和齊次性就導(dǎo)出結(jié)果.
定理3.矩陣序列I,A,A2,…Ak,…收斂于零的充分必要條件是ρ(A)