這就是著名的斯坦納--萊默斯定理.1840年,萊默斯[C.L.Lehmus]在給斯圖姆[C.Sturm]的一封信中提出的,他請求給出一個純幾何的證明,斯圖姆向許多數(shù)學(xué)家提到此問題.首先回答的是瑞士大幾何學(xué)家斯坦納[J.Steiner].后來該定理就以斯坦納--萊默斯定理定理而聞名于世.在1965年的一篇報道中提到該定理約有60多種證法.下面給出兩種證法.
己知 在△ABC中,BE,CF是∠B,∠C的平分線,BE=CF.求證:AB=AC.
證法一 設(shè)AB≠AC,不妨設(shè)AB>AC,這樣∠ACB>∠ABC,從而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF.
在△BCF和△CBE中,因為BC=BC,BE=CF,∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE.(1)
作平行四邊形BEGF,則∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF,連CG,
故△FCG為等腰三角形,所以∠FCG=∠FGC.
因為∠FCE>∠FGE,所以∠ECGEG=BF.(2)
顯然(1)與(2)是矛盾的,故假設(shè)AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
證法二 在△ABC中,假設(shè)∠B≥∠C,則可在CF上取一點F',使∠F'BE=∠ECF',這有CF≥CF'.
延長BF'交AC于A',則由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
從而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假設(shè)∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC為等腰三角形.