證明如下：
設(shè)隨機(jī)變量有n個,分別為X1,X2,X3,...,Xn,平均數(shù)為Y
則方差=[(X1-Y)^2+(X2-Y)^2+...+(Xn-Y)^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(X1+X2+...+Xn)+nY^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-2Y(nY)+nY^2]/n
=[X1^2+X2^2+...+Xn^2-nY^2]/n
=[nX1^2+nX2^2+...nXn^2-(X1+X2+...+Xn)^2]/n^2
這個式子對于X1來說是開口向上的二次函數(shù)（把X2,X3,...,Xn看成定值）,所以當(dāng)X1=0或1（即定義域的兩個端點之一）時方差有最大值.
同理,當(dāng)X2=0或1時方差有最大值.
...
同理,當(dāng)Xn=0或1時方差有最大值.
因此只有當(dāng)所有隨機(jī)變量都在0或1中取時,方差最大.
下面求最大方差：
設(shè)有a個隨機(jī)變量取0,n-a個隨機(jī)變量取1,則平均數(shù)Y=(n-a)/n
方差=[a(0-Y)^2+(n-a)(1-Y)^2]/n
={a[0-(n-a)/n]^2+(n-a)[1-(n-a)/n]^2}/n
=[a(n-a)^2+(n-a)a^2]/n^3
=a(n-a)/n^2
=(-a^2+na)/n^2
=[-(a-n/2)^2+(n^2)/4]/n^2
≤1/4
所以,當(dāng)a=n/2時,即n/2個0,n/2個1時,方差有最大值1/4 (若n為奇數(shù),則方差不可能取到1/4)
如果有看不懂的地方,可以給我發(fā)信息