積分域是單葉雙曲面與兩平面所圍成.記為Q.它在第一卦限的部分記為Q1
由于區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性,可知,
∫∫∫(x+y)dV=0.即以下只要計(jì)算:
∫∫∫z^2)dV.
再由對稱性:
∫∫∫(x+y+z^2)dV=8倍在Q1上的積分.
用柱坐標(biāo)用,化為:
∫∫∫z^2rdrdadz (a表示極角)
積分域Q1表達(dá)為:
000首先:對r積分(區(qū)間:0=z^2*(r^2)/2的上限值-下限值
=z^2[(1+z^2)-0]/2=
然后,對a 積分,區(qū)間(0, pi/2)
(z^4 對a是常量)故積分得:
=(pi/2)*(z^4+z^2)/2
最后,對z積分,區(qū)間( 0,H)
=(pi/2)*[(z^5)/5+(z^3)/3]/2 的上限值-下限值
=(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
原積分=8*(pi/2)*[(H^5)/5+(H^3)/3]/2
=2*pi*[(H^5)/5+(H^3)/3]