(1)an/n=3a(n-1)/(2a(n-1)+n-1)
倒數(shù)n/an=(2a(n-1)+n-1)/3a(n-1)=2/3+(n-1)/3a(n-1)
設(shè)n/an=bn,得bn=1/3b(n-1)+2/3
即bn-1=1/3(b(n-1)-1
所以{bn-1}為等比數(shù)列,首項(xiàng)b1-1=1/a1-1=-1/3
所以bn-1=-1/3^n
bn=1-3^n
an=n/bn=n*3^n/(3^n-1)
(2)即證明3/(3-1)*3^2/(3^2-1)*3*3/(3^3-1)*...*3^n/(3^n-1)1/2
使用放大的方法,先證明n∈N*時(shí),有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
n=1時(shí)①式成立
假設(shè)n=k時(shí)成立,即
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)
則n=k+1時(shí)
(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]
=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)
>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] ①式成立
故由數(shù)學(xué)歸納法知①式對(duì)一切n∈N*均成立
∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)
=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)
=1-(1/2)[1-(1/3)^n]
=1/2+1/2(1/3)^n
>1/2
即原式成立