你陷入了一種誤區(qū),由于二重積分只有兩個(gè)變量,所以你誤認(rèn)為二重積分是在二維坐標(biāo)系下的了.
實(shí)際上二重積分隱含了一個(gè)因變量,所謂的“二重積分積出來一個(gè)體積”這個(gè)說法就是基于因變量是三維坐標(biāo)系下z的坐標(biāo)得出的.
首先回想積分,∫ f(x)dx在數(shù)學(xué)上表示什么含義?表示的是x在x等于某數(shù)例如x0的時(shí)候,f(x)可以得到確切的值,如果我們加入一個(gè)坐標(biāo)軸y,那我們就可以用(x0,f(x0))來表示一個(gè)點(diǎn),并可以得到（x0,0）與(x0,f(x0))之間的連線.當(dāng)給x不同的值的時(shí)候,一個(gè)x就對(duì)應(yīng)一個(gè)y,明顯這條線也動(dòng)了起來,然后就得到了一個(gè)平面,這個(gè)平面面積的大小就是積分的數(shù)值.加上積分限以后無非是給x一個(gè)移動(dòng)范圍而已.
然后看重積分,我們同樣給它加上一個(gè)坐標(biāo)軸,讓z=f(x,y),那么每一個(gè)x,y給它一個(gè)值都能算出來一個(gè)z,這樣(x,y,z)就能得到一個(gè)點(diǎn),同樣的,我們也就能得到（x,y,f(x,y)）到(x,y,0)的連線,然后給x,y不同的值,并且給它們一個(gè)移動(dòng)的范圍（就是積分限）讓這條線動(dòng)起來,這條線取到所有可以積分限內(nèi)的點(diǎn),那就構(gòu)成了一個(gè)立體,這個(gè)立體的體積就是積分算出來的數(shù)值.
我們只需要x的信息就可以算出來f(x)在二維坐標(biāo)系下與x軸之間的面積,但是你絕對(duì)不可能簡單的只從一維坐標(biāo)系下考慮 ∫ f(x)dx,因?yàn)閥的信息實(shí)際上隱含了.同樣也不可能只通二維坐標(biāo)系下考慮二重積分,因?yàn)閷?shí)際隱含了一個(gè)z坐標(biāo)軸的信息.
至于算面積的話那就不是重積分的幾何意義了,那得引入新的東西,這個(gè)恐怕要等您高數(shù)學(xué)完才能解決了.