設向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a·b=-1/2,=60°,求|c|的最大值.

設向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a·b=-1/2,=60°,求|c|的最大值.
參考答案是這樣的：|a+b|=√(a^2+b^2+2a·b)=1.一方面,(a-c)·(b-c)=a·b-(a+b)·c+c^2=-1/2-(a+b)·c+|c|^2；另一方面,(a-c)·(b-c)=1/2|a-c|·|b-c|≤[(a-c)^2+(b-c)^2]/4=[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,于是有-1/2-(a+b)·c+|c|^2≤[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,即|c|^2≤2+(a+b)·c≤2+|a+b|·|c|=2+|c|,|c|^2-|c|-2=(|c|-2)(|c|+1)≤0,|c|≤2,
當且僅當
{|a-c|=|b-c|,
{a+b,c同向共線
時取等號,即|c|的最大值是2.
最后那里,當且僅當為什么要加上 a+b,c同向共線
這個 a+b,c同向共線是怎么得來的?

其他人氣：714 ℃時間：2020-04-11 22:32:27

優(yōu)質解答

前面的解答,我不重復.這里只回答(a+b).c為什么要同向共線,才能有|c|ma2.
...,即|c|^2≤2+(a+b).c≤2+|a+b|.|c| （*）
關鍵在此：(a+b).c=|a+b||c|cos.
當cos=1,即=0°時,才有 (a+b).c=|a+b|.|c| ,也就是(a+b).與c共線且兩個向量的方向相同,即同向共線時,(*)不等式才能取等號.

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