證明：只需要證明這個多項式的二階導數(shù)不是恒大于等于0.
由P(x)是奇次多項式知P(x)的二階導數(shù)還是奇次多項式（次數(shù)少2）,并且次數(shù)為大于或等于1奇數(shù).
不妨記P(x)的二階導數(shù)為Q(x) = A(2n+1)x^(2n+1)+A(2n)x^(2n)+A(2n-1)x^(2n-1)+...+A(0)
(其中A(k)表示x^k的系數(shù),n≥0,A(2n+1)≠0)
下面分兩種情況討論：
（1）A(2n+1)>0,此時易知 Q(x)/x^(2n+1) ----> A(2n+1) (x ---> ∞)
從而可知當 | x | 足夠大的時候 Q(x)/x^(2n+1) >0
因此存在M>0使得 x < -M時 Q(x)/x^(2n+1) >0,
此時有 Q(x) < 0 (因為x^(2n+1)M時Q(x) < 0
綜上所述,P(x)的二階導數(shù)不恒大于等于0,所以P(x)不是下凸函數(shù).