作OQ垂直于CD,垂足為Q,連接OB,OD
設(shè)圓O的半徑為R.則 OB=OD=R
在直角三角形OPQ中,OP是斜邊,所以O(shè)P>OQ
因為,OP垂直于AB,OQ垂直于CD,所以,P、Q分別是AB、CD的中點
在直角三角形OPB中,BP²=R²-OP²
在直角三角形OQD中,DQ²=R²-OQ²
所以,DQ²-BP²=OP²-OQ²=(OP-OQ)(OP+OQ)
因為 OP>OQ
所以,(OP-OQ)(OP+OQ)>0
所以,DQ²-BP²>0
(DQ+BP)(DQ-BP)>0
而DQ+BP>0
因此 DQ-BP>0
1/2CD-1/2AB>0
CD>AB
則CD的任意性,可得AB小于任意一條經(jīng)過P的弦
所以,命題得證.
