二次函數(shù):y=ax＾2+bx+c (a.b.c是常數(shù).且a不等于0)
a＞0開(kāi)口向上
a＜0開(kāi)口向下
a.b同號(hào).對(duì)稱軸在y軸左側(cè).反之.再y軸右側(cè)
|x1-x2|=根號(hào)下b＾2-4ac除以|a|
與y軸交點(diǎn)為(0.c)
b＾2-4ac＞0.ax＾2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根
b＾2-4ac＜0.ax＾2+bx+c=0無(wú)實(shí)根
b＾2-4ac=0.ax＾2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根
對(duì)稱軸x=-b/2a
頂點(diǎn)(-b/2a.(4ac-b＾2)/4a)
頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a
函數(shù)向左移動(dòng)d(d＞0)個(gè)單位.解析式為y=a(x+b/2a+d)＾2+(4ac-b＾2)/4a.向右就是減
函數(shù)向上移動(dòng)d(d＞0)個(gè)單位.解析式為y=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a+d.向下就是減
當(dāng)a＞0時(shí).開(kāi)口向上.拋物線在y軸的上方(頂點(diǎn)在x軸上).并向上無(wú)限延伸,當(dāng)a＜0時(shí).開(kāi)口向下.拋物線在x軸下方(頂點(diǎn)在x軸上).并向下無(wú)限延伸.|a|越大.開(kāi)口越小,|a|越小.開(kāi)口越大.
4.畫拋物線y=ax2時(shí).應(yīng)先列表.再描點(diǎn).最后連線.列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心.選取便于計(jì)算.描點(diǎn)的整數(shù)值.描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接.并注意變化趨勢(shì).
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a.b.c為常數(shù).a≠0).
(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a.h.k為常數(shù).a≠0).
(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2).其中x1.x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根.a≠0.
說(shuō)明:(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h.k).h=0時(shí).拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上,當(dāng)k=0時(shí).拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上,當(dāng)h=0且k=0時(shí).拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn).
(2)當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí).即對(duì)應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根x1和
x2存在時(shí).根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).
求拋物線的頂點(diǎn).對(duì)稱軸.最值的方法
①配方法:將解析式化為y=a(x-h)2+k的形式.頂點(diǎn)坐標(biāo)(h.k).對(duì)稱軸為直線x=h.若a＞0.y有最小值.當(dāng)x=h時(shí).y最小值=k.若a＜0.y有最大值.當(dāng)x=h時(shí).y最大值=k.
②公式法:直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(- .).求其頂點(diǎn),對(duì)稱軸是直線x=- .若a＞0.y有最小值.當(dāng)x=- 時(shí).y最小值= .若a＜0.y有最大值.當(dāng)x=- 時(shí).y最大值= .
6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像的畫法
因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像是拋物線.是軸對(duì)稱圖形.所以作圖時(shí)常用簡(jiǎn)化的描點(diǎn)法和五點(diǎn)法.其步驟是:
(1)先找出頂點(diǎn)坐標(biāo).畫出對(duì)稱軸,
(2)找出拋物線上關(guān)于對(duì)稱軸的四個(gè)點(diǎn)(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等),
(3)把上述五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).