設(shè)向量組a1,a2,...,as的秩為r,證明其中任意選取m個向量構(gòu)成向量組的秩>=r+m-s

數(shù)學(xué)人氣：380 ℃時間：2020-04-11 22:29:37

優(yōu)質(zhì)解答

向量組a1,a2,...,as的秩為r,所以其中存在一個含r個向量ai的線性無關(guān)的向量組.不妨設(shè) a1,．．．,ar,線性無關(guān).共r個向量.在此之外共s－r個向量.
其中任意取 m個向量,
如果 m＜＝ s－r,自然有,m＋r－s＞＝0
如果 m＞s－r,這m個向量中,最多有 s－r個不是 a1,．．．,ar之一.所以至少有 m－（s－r）個向量都在a1,．．,ar之中.而這m－（s－r）個向量線性無關(guān).所以這m個向量的秩＞＝其中的落在 a1,．．．,ar中的向量的秩＞＝ m－（s－r）＝r＋m－s