證:設(shè)a1,a2,...,ar 是向量組中r個(gè)線性無關(guān)的向量
則對原向量組中任一向量b,
b必能由 a1,a2,...,ar 線性表示.
否則 a1,a2,...,ar,b 線性無關(guān),與原向量組秩為r矛盾
所以根據(jù)極大無關(guān)組的定義,a1,a2,...,ar 是一個(gè)極大無關(guān)組.請問是不是若向量組的秩為r，那么其中任意的r+1個(gè)向量一定線性相關(guān)？如果是能不能給我證明一下，謝謝！是的.這由向量組的秩的定義就可以知道向量組的秩是其一個(gè)極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)."極大"的含義就是不會(huì)有含有更多向量的線性無關(guān)的部分組.如果向量組中有r+1個(gè)向量線性無關(guān), 則向量組的秩至少是 r+1.具體這樣證: 因?yàn)橄蛄拷M的秩為r, 可設(shè) a1,...,ar 是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組.對任意r+1個(gè)向量 b1,...,br+1, 則它們可由極大無關(guān)組線性表示所以 r(b1,...,br+1)<=r(a1,...,ar) = r.所以 b1,...,br+1 線性相關(guān).