現(xiàn)有一道高一數(shù)學例題,在該例題的第二種解法中,有些地方看不懂,
解方程sin5x＝sin4x
解法一：移項并運用三角函數(shù)的和差化積公式,得
Sin5x－sin4x=0
2 cos•9x/2 •sin•x/2＝0
cos9x/2＝0 或 sinx/2＝0
由cos9x/2＝0,得9x/2＝2kπ±π/2 (k∈z) 即
X=4/9 kπ±π/9 (k∈z).k
由sinx/2＝0,得x/2＝kπ (k∈z),即
X=2kπ (k∈z).
所以原方程的解集是
{x|x=4/9 kπ±π/9,(k∈z)} U {x|x=2kπ,(k∈z)} ＝ { x|x=4/9 kπ±π/9,或x=2kπ,k∈z }.
解法二：因為與α有相同的正弦值的弧度數(shù)x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成
5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
當k是偶數(shù)2n（n∈z）時,上式成為5x=2nπ+4x,由此可得
X=2nπ （n∈z）.
當k是奇數(shù)2n+1（n∈z）時,上式成為5x=(2n+1) π－4x,由此可得
9x=(2n+1) π （n∈z）,
即
X=1/9(2n+1) π ,（n∈z）.
所以原方程的解集是
{x|x=2nπ ,n∈z}∪{x|x=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}=
{x|x=2nπ ,或X=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}.
（該例題的兩種解法,雖然得到的解集的表示形式不同,但因為當n是偶數(shù)2k時,1/9(2n+1) π成為1/9(4k+1) π；當n是奇數(shù)2k－1時,1/9(2n+1) π成為1/9(4k－1) π；所以實質(zhì)上{x | x=1/9(2n+1) π ,（n∈z）}與{x|x=1/9(4k±1) π,k∈z}是相等的集合.就是說,兩種解法所得的解集是相同的.
在第二種解法中,從“因為與α有相同的正弦值的弧度數(shù)x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z},所以原方程可以化成”是怎樣化成“ 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
我現(xiàn)在思想上有很大疑問。比方說，我們知道sin·5π/6=sin·π/6,然而，能利用“因為與α有相同的正弦值的弧度數(shù)x的集合是{x|x= kπ + (－1) ^k•α,k∈z}”這一說法，將原式“sin·5π/6=sin·π/6”化成5π/6=kπ + (－1) ^k•π/6嗎？首先當k=0時，等號兩邊都不相等。那么，該例題的第二種解法，還能說得過去嗎？
我們知道，兩個角的正弦值相同，但是，這兩個角的大小并不一定相等，等號兩邊的“sin”符號，也不是隨隨便便就可以去掉的。有的朋友說，當k=1時，原式 5x=kπ+ (－1) ^k•4x (k∈z).
成立，我要認為成立?？墒?，例題中的框釋為什么表明“(k∈z)”呢？而不直接寫明“k=1”呢？