第一步,先求f(x)在x=0處的極限
=lim (x→0) ((1+x)-1)/(x·(√(1+x)+1) )
=lim 1/(√(1+x)+1)
=1/2
=f(0)
極限與函數(shù)值相等,說(shuō)明f(x)在x=0處連續(xù).
第二步,判斷可導(dǎo)性
由于函數(shù)f(x)=(√(1+x)-1)/x 是由初等函數(shù)構(gòu)造而成的,因此其左右導(dǎo)數(shù)都存在.
其導(dǎo)數(shù)的形式為
f'(x)=[(√(1+x)-1)/x]'=[1/(√(1+x)+1)]'= -(1/(2(√(1+x) ) )/(√(1+x)+1)² =(-1/2)·[√(1+x) + 2 + 1/√(1+x) ]
則f'(x) (x→0+) = f'(x) (x→0-) = -2
左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等,則在該處導(dǎo)數(shù)存在.
第三步,再判斷二階導(dǎo)數(shù).
令√(1+x)=t,則f'(x)=f'(1+x-1)=f'(t²-1)=(-1/2)·(t+2+1/t)
則f''(x)=d f'(x) /dx
=[d f'(x)/dt]·[dt/dx]
=[1-1/t²]·[1/(2(√(1+x) )]
=[1-1/(1+x)]·[1/(2(√(1+x) )]
∴當(dāng)x=0時(shí),可得f''(0)=0
二階導(dǎo)數(shù)存在.
D