證明：（I）由f（x），g（x）在（a，b）內(nèi)存在相等的最大值，
①若在某點(diǎn)c∈（a，b）同時(shí)取得最大值，則f（c）=g（c），此時(shí)的c就是所求點(diǎn)，即存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；
②若兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同，設(shè)f（c）=maxf（x），g（d）=maxg（x），f（c）=g（d）．
則有f（c）-g（c）＞0，g（d）-f（d）＜0，
因此函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在[c，d]或[d，c]上滿足零點(diǎn)定理的條件，
故在（c，d）或（d，c）內(nèi)肯定存在η，使得f（η）=g（η）
綜合①②，存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）
（II）由（1）和洛爾定理在區(qū)間（a，η），（η，b）內(nèi)分別存在一點(diǎn){ξ}_{1}和{ξ}_{2}，使得
f（ξ₁）=0，f′（ξ₂）=0
在區(qū)間（ξ₁，ξ₂）內(nèi)對(duì)函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）用洛爾定理，即
?ξ∈（ξ₁，ξ₂）?（a，b），F(xiàn)''（ξ）=f''（ξ）-g''（ξ）=0
即?ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．