橢圓x²／25+y²/9＝1上的一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)F₁的距離為2,N是MF₁的中點(diǎn),則∣ON∣＝?
橢圓參數(shù)：a=5,b=3,c=4；左焦點(diǎn)F₁(-4,0)；
把橢圓方程改寫(xiě)成參數(shù)形式：x=5cost,y=3sint,設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5cost₁,3sint₁).
依題意有等式：√[(5cost₁+4)²+9sin²t₁)]=2；平方去根號(hào)并展開(kāi)整理得：
25cos²t₁+40cost₁+9sin²t₁+12=0；用sin²t₁=1-cos²t₁代入得：
16cos²t₁+40cost₁+21=(4cost₁+7)(4cost₁+3)=0,故cost₁=-3/4.
N是MF₁的中點(diǎn),故N的橫坐標(biāo)m=(5cost₁-4)/2,N的縱坐標(biāo)n=(3/2)sint₁；
∴∣ON∣=√[(5cost₁-4)²/4+(9/4)sin²t₁]
即4∣ON∣²=(5cost₁-4)²+9sin²t₁=25cos²t₁-40cost₁+16+9sin²t₁
=16cos²t₁-40cost₁+25=16×(-3/4)²-40×(-3/4)+25=9+30+25=64
故∣ON∣²=16,∣ON∣=4.