由于無窮級數(shù)的每一個函數(shù)項a^n \cos(b^n \pi x)的絕對值都小于常數(shù)a^n,而正項級數(shù) \sum_{n=0} ^\infty a^n 是[[收斂]]的.由[[比較審斂法]]可以知道原級數(shù)一致收斂.因此,由于每一個函數(shù)項a^n \cos(b^n \pi x)都是{\mathbb R}上的連續(xù)函數(shù),級數(shù)和f(x) 也是{\mathbb R}上的連續(xù)函數(shù).
　　下面證明函數(shù)處處不可導：對一個給定的點x \in {\mathbb R},證明的思路是找出趨于x 的兩組不同的數(shù)列(x_n) 和 (x'_n),使得
　　:\lim \inf \frac{f(x_n) - f(x)}{x_n - x} > \lim \sup \frac{f(x'_n) - f(x)}{x'_n - x}.
　　這與函數(shù)可導的定義矛盾,于是證明完畢