知識分析

1. 有關(guān)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

如何理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪呢?
我們不妨設(shè),憑感覺沒有經(jīng)過嚴(yán)格的證明,只是把整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算“推廣”到分?jǐn)?shù),是不科學(xué)的,但可以借此理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義.）
我們所求的x是這樣一個數(shù),它的n次方等于,由此感覺到x為的n次方根,故學(xué)習(xí)時(shí)先提出了根式的概念：一般地,如果那么x叫做a的n次方根,式子叫做根式,n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù).
回到原來的討論,則是的n次方根,即.類似地,我們可以定義負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.
到目前為止,我們共學(xué)習(xí)了下面一些冪,其中正整數(shù)指數(shù)冪是根本,并由此拓展到零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,于是我們得到了整數(shù)指數(shù)冪.分?jǐn)?shù)指數(shù)是在正整數(shù)指數(shù)的概念推廣到整數(shù)指數(shù)后指數(shù)概念的又一推廣,推廣后指數(shù)的取值范圍為有理數(shù),它是根式的一種新的表示法.
正整數(shù)指數(shù)冪
零指數(shù)冪
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
2. 有關(guān)冪的運(yùn)算性質(zhì)

這也是由整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣而來的.
根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的關(guān)系,根式的運(yùn)算可以與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化.對于運(yùn)算結(jié)果,不統(tǒng)一要求用什么形式來表示.沒有特殊要求時(shí),可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示,如果有特殊要求,可以根據(jù)要求寫出結(jié)果,但結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既有分母又有負(fù)指數(shù),同時(shí)注意根式要化簡為最簡并合并同類根式.
3. 有關(guān)指數(shù)函數(shù)
函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,.
為什么要在定義中規(guī)定呢?原因是在中,若,則,這是一個常數(shù)函數(shù),并不是指數(shù)函數(shù).為了保證x取分?jǐn)?shù)時(shí)都有意義,必須要求；但是時(shí),只對有意義,且是定義在上的常數(shù)函數(shù),因此,定義指數(shù)函數(shù)時(shí),要規(guī)定.
對于指數(shù)函數(shù)的定義,按課本上的說法它是一種形式定義,即解析式的特點(diǎn)必須是的樣子,不能有一點(diǎn)差異.對底數(shù)a的限制條件的理解與認(rèn)識也是認(rèn)識指數(shù)函數(shù)的重要內(nèi)容,可以通過具體的例子來理解對底數(shù)、指數(shù)都有什么限制要求.因?yàn)閷@個條件的認(rèn)識不僅關(guān)系到對指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識及性質(zhì)的分類討論,還關(guān)系到后面學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)中對底數(shù)的認(rèn)識,所以一定要真正了解它的由來.
4. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以結(jié)合函數(shù)圖象來掌握：

圖象 時(shí)的圖象 時(shí)的圖象
性質(zhì) （1）定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,＋∞）

（2）,即x = 0時(shí),y = 1,圖象都經(jīng)過（0,1）點(diǎn)

（3）,即x = 1時(shí),y等于底數(shù)a,圖象都經(jīng)過(1,a)點(diǎn)

（4）在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

（5）


（6）既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

注意：（1）利用性質(zhì)（3）可以讓我們根據(jù)幾個指數(shù)函數(shù)圖象判斷其底數(shù)大小,如下圖,可知,由此可知底數(shù)對函數(shù)值變化的影響.
（2）
【典型例題】例1. 把根式表示成分?jǐn)?shù)冪的形式.
解析：原式＝
另原式＝
點(diǎn)評：兩種解法風(fēng)格不同,思考角度也不同,解法2更漂亮.
例2. 計(jì)算：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式＝
（2）原式＝

（3）原式＝
點(diǎn)評：一般地,遇到小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；遇到指數(shù)是負(fù)數(shù),可以對調(diào)底數(shù)的分子和分母,將負(fù)指數(shù)化為正指數(shù).
例3.化簡下列各式：（1）（2）
解析：（1）原式＝
（2）原式＝

＝－＝－2
點(diǎn)評：解題時(shí)要從總體上把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),比如對于分式,應(yīng)該想到對分子分母分解因式,然后約分.
例4. 求函數(shù)的定義域.
解析：由題意,得：,即.
因?yàn)?>1,所以,解得：,
故函數(shù)的定義域是[－2,1]
點(diǎn)評：求函數(shù)定義域,一般轉(zhuǎn)化為解不等式或解不等式組,從而求出自變量的取值范圍.
例5. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）
（2）
解析：（1）定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對稱.
因?yàn)?所以是奇函數(shù).
（2）定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對稱.
因?yàn)?所以是偶函數(shù).
點(diǎn)評：要判斷函數(shù)奇偶性,首先考慮定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,其次看的關(guān)系.
例6. 比較的大小.
解析：首先考慮到,且由于,所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.
故由,得：
再者由于,故函數(shù)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)?所以
所以
點(diǎn)評：在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí),若底數(shù)相同,則可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果.若底數(shù)不同,則首先考慮能否化成同底數(shù),然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的,要考慮引進(jìn)第三個數(shù)（如0,1等）分別與之比較,從而得出結(jié)果.總之比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的形式,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.
例7. 討論函數(shù)的單調(diào)性,并求其值域.
解析：函數(shù)的定義域是R.令,則,易知是R上減函數(shù).
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?
所以的值域是點(diǎn)評：本題利用了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法——“同增異減”.注意辨清內(nèi)外函數(shù)及其單調(diào)性,以及它們之間的聯(lián)系.
【模擬試題】
1、計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
2、計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. B.C.D.
3、函數(shù)的值域是（ ）
A. B. C. D.
4、已知,下列不等式中成立的一個是（ ）
A.B. C. D.
5、設(shè),則（ ）
A.B.
C.D.
6、函數(shù)（ ）
A. 是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B. 是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)
C. 非奇非偶函數(shù)D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
7、函數(shù)的圖象是（ ）

8、設(shè),則x的取值范圍是__________________
9、函數(shù)恒過點(diǎn)（1,10）,則m＝_________________
10、函數(shù)的遞增區(qū)間是__________________,遞減區(qū)間是_______________.
11、計(jì)算：
12、求函數(shù)的最大值和最小值.
13、設(shè)
（1）證明：不論a為何實(shí)數(shù),均為增函數(shù)；
（2）試確定a的值,使成立.
【試題答案】
1. C 2. C 3. B 4. C 5. D 6. B 7. B
8.9. 9 10.
11. 原式＝－1
12.
令,則,因?yàn)?所以,
所以,即,所以函數(shù)的最小值是,最大值是57.
13. （1）證明：設(shè),則

由于指數(shù)函數(shù)在R上是增函數(shù),且,所以,即,
又由得,所以,因此與a的取值無關(guān),所以不論a為何值,均為增函數(shù).
（2）由得：.
所以