{x→∞}lim{x-x²*In(1+ x^-1)}=lim{[1-xln(1+x)+xlnx)]/(1/x)}
=lim{[-ln(1+x)- x*/(1+x) + lnx + x*(1/x)]/(-1/x²)}……應(yīng)用了羅必塔法則
=lim{[(1+x)ln(1+x)] -[(1+x)lnx]-1}/[(1+x)/x²]……整理
=lim{ln(1+x)+ [(1+x)/(1+x)]-[(1+x)lnx]-[(1+x)/x]}/[(-x-2)/x³]……應(yīng)用了羅必塔法則
=lim{[ln(1+x)+ 1 -(x+1)lnx- 1 -(1/x)]/[-(x+2)/x³]}……整理
=lim{[xln(1+x) -xlnx - x²lnx -1]/[-(x+2)/x²]}……整理
=lim{[x³ln(1+x)-x³lnx- x²]/(x+2)}……整理（并忽略上式分子中的二階無窮小 x²lnx）
=lim{[3x²ln(1+x)]+ [x³/(1+x)] -[3x²lnx +x²]- 2x}……應(yīng)用了羅必塔法則
=lim{3x²ln(1+x)]+ 0-[3x²lnx+0]-0}……加減式中由明確極限這先行代入計(jì)算
=lim{3[ln(1+x)- lnx]/(1/x²)……整理
=lim{3[1/(1+x) -(1/x)]/(-2/x³)}……應(yīng)用了羅必塔法則
=lim{3x²/[2(1+x)]} = 0；