n階矩陣乘積的秩有不等式
r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n
AB = 0, 即有r(AB) = 0, 代入即得.
還有一種想法, B的列向量都是線性方程組AX = 0的解.
于是AX = 0解空間的維數(shù)n-r(A)應(yīng)該 ≥ B的列秩r(B).
于是r(A)+r(B) ≤ n.r(A)表示A的秩. 如果學(xué)過不等式r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)就直接寫∵AB = 0,∴r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) = 0,∴r(A)+r(B) ≤ n.如果沒學(xué)過, 就用下面的方法:∵AB = 0,∴B的列向量都是線性方程組AX = 0的解.而AX = 0的基礎(chǔ)解系有n-r(A)個(gè)向量, B的列向量被它們線性表出.∴r(B) ≤ n-r(A),∴r(A)+r(B) ≤ n.