設(shè) f(t)>0且是連續(xù)偶函數(shù),又函數(shù)F(x)=∫|x-t|f(t)dt定積分上下限為-a、a,x∈[-a,a],討論F`(x)的單調(diào)性.

數(shù)學(xué)人氣：235 ℃時(shí)間：2019-09-29 03:25:52

優(yōu)質(zhì)解答

F(x)=積分（從--a到0）|x--t|f(t)dt+積分（從0到a）|x--t|f(t)dt 第一個做變量替換t==-y再用t代替y
=積分（從0到a）(|x--t|+|x+t|)f(t)dt 故F(x)是偶函數(shù),只需考慮x位于【0,a】區(qū)間即可.
=積分（從0到x）(x--t+x+t)f(t)dt+積分（從x到a）(t--x+x+t)f(t)dt
=2x積分（從0到x）f(t)dt--積分（從a到x）2tf(t)dt,
于是F'(x)=2積分（從0到x）f(t)dt是【0,a】上的遞增函數(shù),由F'(x)是奇函數(shù)知道
F'(x)是【--a,a】上的遞增函數(shù).