證明：令 f(x) =1/x,
則 f(x) 在區(qū)間 [ n,n+1 ] 上的最大值為
f(n) =1/n,
最小值為
f(n+1) =1/(n+1).
由定積分性質(zhì),得
1/(n+1) < f(x)在[ n,n+1 ] 上的定積分 < 1/n
即 1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n.
所以 1/2 < ln 2 < 1,
1/3 < ln3 -ln2 < 1/2,
......
1/(n+1) < ln (n+1) -ln n < 1/n,
所以 1/2 +1/3 +...+1/(n+1) < ln (n+1) < 1 +1/2 +1/3 +...+1/n,
同理,1/2 +1/3 +...+1/n < ln n,
所以 1 +1/2 +1/3 +...+1/n < 1 +ln n.
綜上,ln (n+1)