悖論是一種認(rèn)識矛盾,它既包括邏輯矛盾、語義矛盾,也包括思想方法上的矛盾.數(shù)學(xué)悖論作為悖論的一種,主要發(fā)生在數(shù)學(xué)研究中.按照悖論的廣義定義,所謂數(shù)學(xué)悖論,是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中既有數(shù)學(xué)規(guī)范中發(fā)生的無法解決的認(rèn)識矛盾,這種認(rèn)識矛盾可以在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中得到解決.
理發(fā)師悖論（羅素悖論）：某村只有一人理發(fā),且該村的人都需要理發(fā),理發(fā)師規(guī)定,給且只給村中不自己理發(fā)的人理發(fā).試問：理發(fā)師給不給自己理發(fā)?
如果理發(fā)師給自己理發(fā),則違背了自己的約定；如果理發(fā)師不給自己理發(fā),那么按照他的規(guī)定,又應(yīng)該給自己理發(fā).這樣,理發(fā)師陷入了兩難的境地.
說謊者悖論：公元前6世紀(jì),古希臘克里特島的哲學(xué)家伊壁門尼德斯有如此斷言：“所有克里特人所說的每一句話都是謊話.”
如果這句話是真的,那么也就是說,克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話,但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的,也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話,則真話應(yīng)是：所有克里特人所說的每一句話都是真話,兩者又相悖.
所以怎樣也難以自圓其說,這就是著名的說謊者悖論.