（1）由f（x）=x²+xsinx+cosx，
得f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）．…（1分）
令f′（x）=0，得x=0．…（2分）
列表如下：
  …（4分）
∴函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調遞減，
在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，
∴f（0）=1是f（x）的最小值．…（5分）
（2）∵曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，b=f（a），…（7分）
解得a=0，b=f（0）=1．…（9分）
（3）當b≤1時，曲線y=f（x）與直線y=b最多只有一個交點；
當b＞1時，f（-2b）=f（2b）≥4b²-2b-1＞4b-2b-1＞b，f（0）=1＜b，
∴存在x₁∈（-2b，0），x₂∈（0，2b），使得f（x₁）=f（x₂）=b．…（12分）
由于函數f（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上均單調，
∴當b＞1時曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同交點．…（13分）
綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有且只有兩個不同交點，那么b取值范圍是（1，+∞）．…（14分）