1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
可以用數(shù)學(xué)歸納法證明或裂項(xiàng)法證明
因?yàn)?n+1)³-n³=3n²+3n+1,
所以 n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
.
2³-1³=3·1²+3·1+1
相加得(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+n
=3(1²+2²+3²+...+n²)+3n(n+1)/2+n
解得²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.