一樓的思路很清晰,有些瑕疵：
U(n+1)=U(n)+1,其中U(1)=2/k-2/k=0.
U(n)=n-1.
所以通項為:A(n)=(n-1)k^n+2^n .
(2)
因為要用到等比數(shù)列的求和,要討論一下公比是否為1.
當(dāng)k=1時,
An=(n-1)+2^n
Sn=n(n-1)/2+2^(n+1)-2.
k≠1時
令B(n)=(n-1)k^n.
記{B(n)}的前n項和為Tn,
錯位相減：
Tn=k^2+2k^3+3k^4+...+(n-1)k^n;
kTn= k^3+2k^4+...+(n-2)k^n+(n-1)k^(n+1);
(1-k)Tn=k^2+k^3+k^4+...+k^n-(n-1)k^(n+1).
(1-k)Tn=k(k+k^2+..+k^n)-nk^(n+1)
=k[k^(n+1)-1]/(k-1)-nk^(n+1).
所以Tn=[(n-1)k^(n+2)-nk^(n+1)+k]/(k-1)^2.
所以Sn=Tn+2+2^2+2^3+...+2^n=
[(n-1)k^(n+2)-nk^(n+1)+k]/(k-1)^2+2^(n+1)-2.