若復(fù)數(shù)Z滿足|z|=1,求|z^2-2z-3|的最小值~

若復(fù)數(shù)Z滿足|z|=1,求|z^2-2z-3|的最小值~
若復(fù)數(shù)Z滿足|z|=1,求|z^2-2z-3|的最小值
因?yàn)閨Z|=1所以不妨設(shè)Z=cosa+isina
則|Z^2-2Z-3|＝｜Z-3||Z+1|=|cosa-3+isina|*|cosa+1+isina|
=更號(hào)下{〔（cosa-3)^2+sina^2][(cosa+1)^2+sina^2]}
=更號(hào)下（-12cosa^2+8cosa+20)(只需求二次函數(shù)最小值）
＞＝0（等號(hào)當(dāng)cosa=-1時(shí)取得）
這一步是怎么來(lái)的?
=更號(hào)下{〔（cosa-3)^2+sina^2][(cosa+1)^2+sina^2]}
中間是加號(hào)啊,能寫成根號(hào)下.

數(shù)學(xué)人氣：540 ℃時(shí)間：2020-06-16 02:43:10

優(yōu)質(zhì)解答

可設(shè)z=cosx+isinx.(x∈R).則|z²-2z-3|=|(z-3)(z+1)|=|z-3|×|z+1|=|(cosx-3)+isinx|×|(cosx+1)+isinx|=√{[(cosx-3)²+sin²x]×[(cosx+1)²+sin²x]}=√{[cos²x-6cosx+9+sin²x]×[cos²x+2cosx+1+sin²x]}=√[(10-6cosx)(2+2cosx)]=2√[(5-3cosx)(1+cosx)]=2√(-3cos²+2cosx+5)=2√[-3(cosx-1/3)²+(16/3)]≥0,僅當(dāng)cosx=-1時(shí)取得.

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