△ABC的頂點(diǎn)A(2,-4),兩條角平分線BE和CF的方程分別為x+y-2=0和x-3y-6=0
求BC邊所在直線的方程.
解題思路：∵BE是∠B的平分線,∴點(diǎn)A關(guān)于BE對(duì)稱的點(diǎn)A1必在BC邊上;同樣,∵CF是∠C的平分線,∴點(diǎn)A關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)A2也必在BC上.于是A1A2所在直線的方程便是BC所在直線的方程.
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(m,n),則AA1的中點(diǎn)((2+m)/2,(-4+n)/2)
必在BE所在的直線上,故有(2+m)/2+(-4+n)/2-2=0,化簡(jiǎn)得：
m+n-6=0……(1).
BE所在直線的斜率KBE=-1,∴過(guò)A且⊥BE的直線的方程為y+4=x-2,即x-y-6=0.
A1在此直線上,故有m-n-6=0……(2).
(1)+(2)得2m-12=0,即m=6,代入(1)式得n=0.∴A1的坐標(biāo)為(6,0).
設(shè)點(diǎn)A關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(h,p),則AA2的中點(diǎn)((2+h)/2,(-4+p)/2)
必在CF所在的直線上,故有(2+h)/2-3(-4+p)/2-6=0,化簡(jiǎn)得：
h-3p+2=0……(3).
CF所在直線的斜率KCF=1/3,∴過(guò)A且⊥CF的直線的方程為y+4=-3(x-2),即
-3x-y+2=0,A2在此直線上,故有：
-3h-p+2=0……(4).
(3)-3(4)得h=2/5,代入(4),得p=4/5.故A2的坐標(biāo)為(2/5,4/5).
A1A2所在直線的斜率K=(4/5)/[(2/5)-6]=-1/7.
故BC所在直線的方程為y=-(1/7)(x-6),即x+7y-6=0為所求.