“簡單”證明是不太可能了,建議你自己看一下數(shù)學(xué)分析,嚴格的推導(dǎo)我就不說了,給你個大體思想.
首先設(shè)c<=x_k<=d,對于所有k成立,這里運用了有界的條件.
其次,記c_1=c,d_1=d,將[c,d]按區(qū)間長度平均一分為二,顯然數(shù)列中有無窮多項在分出來的兩部分中的一部分,記此部分區(qū)間為[c_2,d_2],這樣繼續(xù)下去,我們得到了2列數(shù)列{c_k}與{d_k}且對任意的k都有[c_k,d_k]有原數(shù)列中的無窮多項這樣一性質(zhì).
再次,注意我們的分法是平均一分為二的,即[c_k,d_k]的區(qū)間長度是在以1/2的速度縮小的,由閉區(qū)間套定理（這證明就麻煩了,略）{c_k}與{d_k}將同時收斂于同一極限.記為y.
最后,既然每一區(qū)間[c_k,d_k]都包含原數(shù)列的無窮多項,容易知道我們可以從中取出一子列{y_k}使得y_k在區(qū)間[c_k,d_k]中,再由極限夾逼性質(zhì)得到{y_k}的極限即y.