證明矩陣A和B對稱的充分必要條件是AB=BA

數(shù)學(xué)人氣：887 ℃時間：2020-04-15 11:31:43

優(yōu)質(zhì)解答

題目不完全,首先應(yīng)有A和B均為n階對稱矩陣的條件.
1、若A、B是對稱矩陣,則根據(jù)對稱矩陣的定義,（AB）T=AB,（T是上標,以下相同）,
而根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣的重要性質(zhì),（AB）T=（B）T（A）T,而B、A都是對稱矩陣,(B)T=B,(A)T=A,
所以AB=BA,即A和B可交換.
2、若AB=BA,即A和B是可交換矩陣,根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣的重要性質(zhì),
（AB）T=（B）T（A）T,
而B、A都是對稱矩陣,(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA,
故（AB）T=AB,
故AB是對稱矩陣.