證明:因為A,B正定,所以 A^T=A,B^T=B
(必要性) 因為AB正定,所以 (AB)^T=AB
所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.
(充分性) 因為 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是對稱矩陣.
由A,B正定,存在可逆矩陣P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定,且與AB相似
故 AB 正定.