若A,B都是正規(guī)矩陣,且AB=BA,如何證明“AB和BA都是正規(guī)矩陣”

數(shù)學(xué)人氣：996 ℃時間：2020-01-31 23:08:31

優(yōu)質(zhì)解答

一個矩陣A是正規(guī)陣的充要條件是存在矩陣X,使得X*AX是對角陣.其中X*是X的共軛轉(zhuǎn)置.
于是存在矩陣X,Y使得X*AX=K,Y*BY=J,其中K,J是對角陣,且可記K＝diag(K1,K2,...,Kk),其中Ki與Kj的對角元互不相同,Ki＝aiE,E是單位陣.由AB＝BA知道
K(X*YJY*X)=(X*YJY*X)K,將X*YJY*X類似分塊可知X*YJY*X是塊對角陣,且對角塊均可對角化.
于是K(X*YJY*X)=(X*YJY*X)K可對角化,即AB＝X(KX*YJY*X)X*可對角化,是正規(guī)陣.同理可證BA是正規(guī)矩陣根據(jù)這個存在矩陣X，Y使得X*AX=K，Y*BY=J推理