1.使用反證法可以證明
若根2為有理數(shù),可設(shè)根2=p/q滿足p,q為非0整數(shù)且互質(zhì).
推出2*q^2=p^2
推出p^2是偶數(shù)
推出2*q^2被四整除
推出q^2是偶數(shù)
推出q,p是偶數(shù)
推出p,q不互質(zhì),矛盾
所以根2不是有理數(shù)
2.如果根號(hào)2是一個(gè)分?jǐn)?shù),那么根號(hào)2可以表示為m/n(m、n是正整數(shù),且沒有大于1的公約數(shù)）,即根號(hào)2=m/n.
根據(jù)平方根的意義,（m/n)的平方等于2,即m平方/n平方等于2,
2*n的平方=m平方.
由于上式左邊是偶數(shù),所以右邊也是偶數(shù),從而m也是偶數(shù).
設(shè)m=2p（p是正整數(shù)）,
把m=2p代入2*n的平方=m平方,得
2*n的平方=4*p的平方,即n平方=2*p的平方.
因此,n也是偶數(shù).
于是,m、n都是偶數(shù),所以m、n都是2的倍數(shù),這與m、n沒有大于1的公約數(shù)相矛盾.
因此,根號(hào)2=m/n是不可能的,也就是說(shuō)根號(hào)2不是分?jǐn)?shù),所以不是有理數(shù).