2．旋轉(zhuǎn)體的體積
(1)旋轉(zhuǎn)體的體積這部分包括旋轉(zhuǎn)體的定義、旋轉(zhuǎn)體的體積公式的推導(dǎo)、旋轉(zhuǎn)體體積的計算．我們以旋轉(zhuǎn)體體積的計算為重點．
(2)關(guān)于旋轉(zhuǎn)體的定義,要明確旋轉(zhuǎn)體的形成有兩個要素：一是被旋轉(zhuǎn)的平面圖形,二是旋轉(zhuǎn)軸．柱、錐、球等旋轉(zhuǎn)體中被旋轉(zhuǎn)的平面圖形都是直線或圓弧,而在這里則是一般的曲線．所以通過本部分內(nèi)容的學(xué)習,可使旋轉(zhuǎn)體的體積在理論上解決得更徹底,同時使我們認識到學(xué)習定積分知識的必要性．
(3)關(guān)于旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導(dǎo),其實在第二冊(下)關(guān)于球體積公式的推導(dǎo)過程中已經(jīng)滲透了定積分的思想方法．旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導(dǎo)和曲邊梯形面積公式的推導(dǎo)類似,其步驟也是分割、近似代替、作和、求極限；遵循“有限→無限→有限、連續(xù)→離散→連續(xù)、精確→近似→精確”的原則,化曲為直,化整為零,變未知為已知．
(4)關(guān)于旋轉(zhuǎn)體體積的計算．例4是求直線 ,x=0,y=0圍成的△OSA繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的圓錐的體積．當然,本例可以直接運用圓錐體積公式 來求,之所以在此安排這個例題,主要目的是讓我們明白用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積是一種普遍適用的方法．事實上,對平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等的計算,是在引入定積分這個工具后才徹底解決的．利用定積分計算旋轉(zhuǎn)體體積的具體解題步驟為：根據(jù)題意畫出草圖；找出曲線范圍,定出積分上、下限；確定被積函數(shù)；寫出求體積的定積分表達式；計算定積分,求出體積．
例5由于上半橢圓是關(guān)于y軸成軸對稱圖形,所以課本對曲邊梯形AOB繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體用體積公式得到體積 ,然后乘以2就得到了所求體積V.也可以對由上半橢圓與x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體運用體積公式直接得到體積
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橢圓 繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 .
容易看出,繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的橢球的體積與繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的橢球的體積不相等．