即斐波那契數(shù)列,“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者,是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci,生于公元1170年,卒于1240年.籍貫大概是比薩）.他被人稱作“比薩的列昂納多”.1202年,他撰寫了《珠算原理》(Liber Abaci)一書.他是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人.他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事,派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū),列昂納多因此得以在一個(gè)阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué).他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數(shù)學(xué).
斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21……
這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和.它的通項(xiàng)公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號(hào)5】
很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列,通項(xiàng)公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的.
【該數(shù)列有很多奇妙的屬性】
比如：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加,前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越逼近黃金分割0.6180339887……
還有一項(xiàng)性質(zhì),從第二項(xiàng)開始,每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1,每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1.
如果你看到有這樣一個(gè)題目：某人把一個(gè)8*8的方格切成四塊,拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形,故作驚訝地問你：為什么64＝65?其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng),事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1,只不過后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫,一般人不容易注意到.
如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始,比如5、-2.4,然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去,形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等,你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展,前后兩項(xiàng)之比也越來越逼近黃金分割,且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值.
斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)同時(shí)也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個(gè)數(shù).
【斐波那契數(shù)列別名】
斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”.
斐波那契數(shù)列
一般而言,兔子在出生兩個(gè)月后,就有繁殖能力,一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來.如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子?
我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：
第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力,所以還是一對(duì);
兩個(gè)月后,生下一對(duì)小兔民數(shù)共有兩對(duì);
三個(gè)月以后,老兔子又生下一對(duì),因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁殖能力,所以一共是三對(duì);
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經(jīng)過月數(shù)：0123456789101112
兔子對(duì)數(shù)：1123581321345589144233
表中數(shù)字1,1,2,3,5,8－－－構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列.這個(gè)數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點(diǎn),那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和,構(gòu)成了后一項(xiàng).
這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的,這個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質(zhì)外,還可以證明通項(xiàng)公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.）
【斐波那挈數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)】
斐波那契數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21……
如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(n∈N+).那么這句話可以寫成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
顯然這是一個(gè)線性遞推數(shù)列.
通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程
線性遞推數(shù)列的特征方程為：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號(hào)5】
通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法二：普通方法
設(shè)常數(shù)r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時(shí),有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
將以上n-2個(gè)式子相乘,得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r,F(1)=F(2)=1
上式可化簡(jiǎn)得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個(gè)以s^(n-1)為首項(xiàng)、以r^(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公差的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
【C語言程序】
main()
{
long fib[40] = {1,1};
int i;
for(i=2;i<40;i++)
{
fib[i ] = fib[i-1]+fib[i-2];
}
for(i=0;i<40;i++)
{
printf("F%d==%d\n", i, fib);
}
return 0;
}
【Pascal語言程序】
var
fib: array[0..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[0] := 1;
fib[1] := 1;
for i:=2 to 39 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=0 to 39 do
write('F', i, '=', fib[i ]);
end.
【數(shù)列與矩陣】
對(duì)于斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義
F(n)=f(n-1)+f(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對(duì)于以下矩陣乘法
F(n+1) = 1 1 * F(n)
F(n) 1 0 F(n-1)
它的運(yùn)算就是
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數(shù)列的定義
設(shè)1 為B,1 1為C
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契數(shù)列的某一項(xiàng)F(n)=(BC^(n-2))1
這就是斐波那契數(shù)列的矩陣乘法定義.
另矩陣乘法的一個(gè)運(yùn)算法則A¬^n(n為偶數(shù))=A^(n/2)* A^(n/2).
因此可以用遞歸的方法求得答案.
時(shí)間效率：O(logn),比模擬法O(n)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高效.
代碼（PASCAL）
{變量matrix是二階方陣, matrix是矩陣的英文}
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
var
c,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
var
temp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
var
temp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procedure init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【數(shù)列值的另一種求法】
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數(shù).
【數(shù)列的前若干項(xiàng)】
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
11 144
12 233
13 377
14 610
15 987
16 1597
17 2584
18 4181
19 6765
20 10946