一 f(x)=pi^2-x^2
a0=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)dx; 括號(hào)內(nèi)是積分范圍
an=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)cosnxdx;
bn=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)sinnxdx;
傅里葉展開(kāi)式為 2\a0+ ∑(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
具體運(yùn)算我不寫(xiě)了,傅里葉展開(kāi)式就是套公式而已,運(yùn)算出的答案一般長(zhǎng)而不怪,太怪的話(huà)你就看看你的積分有無(wú)錯(cuò)誤.
二
∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)=∑(-1)^(n-1)*(1\n) * ∑(1\n)
麥克勞林公式∑(-1)^(n-1)*(1\n)=ln(1+1)=ln2
∑(1\n)也為ln2,它是調(diào)和級(jí)數(shù),這里比較麻煩,不寫(xiě)出來(lái)了,
答案就是兩個(gè)相乘
ps：這里我默認(rèn)∑xy=∑x*∑y 我不知道是否正確,原式里只帶入了n=1,2,3的值驗(yàn)算,結(jié)果倒是對(duì)的,但不知道是否有這公式
其實(shí)這種題就是用麥克勞林公式去將交錯(cuò)級(jí)數(shù)簡(jiǎn)化,熟悉就好
三
第三個(gè)有點(diǎn)怪,目測(cè)也是調(diào)和級(jí)數(shù),你們連這也要考嗎,當(dāng)年我是感興趣才看的這部分,老師幾句話(huà)就帶過(guò)了,書(shū)上也只有一個(gè)1\n的求和,證明收斂都很麻煩,還要求具體數(shù)據(jù),這部分我?guī)筒涣四?具體參見(jiàn)調(diào)和函數(shù)百科,應(yīng)該有求和的公式
好幾年沒(méi)看高數(shù),不敢保證正確,恩，謝謝你。第2,3題是根據(jù)第一題的答案帶入數(shù)值計(jì)算的，我知道方法，就是總是算不對(duì)，所以想來(lái)看看有沒(méi)有人給個(gè)具體的步驟，讓我看看我哪里做錯(cuò)了。第三題答案是24\pi平方嗎，我用不等式估了下，不知道對(duì)不對(duì)。算不對(duì)的話(huà)肯定是運(yùn)算問(wèn)題了，方法一般都不會(huì)錯(cuò)的，高數(shù)的運(yùn)算確實(shí)惡心，傅里葉展開(kāi)式更是....。具體的步驟是指第一問(wèn)嗎，如果需要的話(huà)我可以幫你算一下，不過(guò)是用數(shù)學(xué)軟件....恩，第三題是的。你幫我算一下第一問(wèn)吧，謝謝啦。我?guī)湍闼懔艘徊糠郑竺尜x值我實(shí)在算不動(dòng)了，分布積分下來(lái)一長(zhǎng)串，不過(guò)an，bn應(yīng)該都是對(duì)的a0很簡(jiǎn)單，我直接給答案了4pi^2\3an比較麻煩（π^2-x^2）cos(nx)拆成兩部分積分，一部分是1\pi∫π^2*cos(nx)這部分積分很簡(jiǎn)單，積下來(lái)是pi\n*sin(nx),后部分就麻煩了，要用兩步分布積分∫ x^2 cosnx dx=x^2\n*sin(nx)-2∫x\n*sin(nx)dx=x^2\n*sin(nx)-2(-x\n^2*cosnx-∫-n^2cos(nx)dx)=n\x^2*sin(nx)+2x\n^2*cos(nx)-2\n^3*sin(nx)答案還要再乘以一個(gè)1\pi 然后把區(qū)間取值帶進(jìn)去再相減就行了an=4\n^2*cos(n*pi) bn也是和an一樣，前面部分為-pi\n*cos(nx) 后半部分為-x^2\n*cos(nx)+2x\n^2*sin(nx)+2\n^3*cos(nx)然后再乘以一個(gè)1\pi，我就算到了這里bn沒(méi)賦值算，居然用了我40幾分鐘，擦，生疏了，不過(guò)積分結(jié)果我都驗(yàn)證過(guò)，應(yīng)該是對(duì)的。好吧，我?guī)湍闼阃炅?，bn賦值后為0把a(bǔ)n，bn,a0代入后得2pi^2\3+ ∑(4\n^2*(cos(n*pi))*cos(nx)cosnpi可以化成交錯(cuò)級(jí)數(shù)，over