已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n，有Sn，a/2(a-1)an，n（a≠0，a≠1）成等差數(shù)列，令bn=（an+1）lg（an+1）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式an（用a，n表示）（2）當a=8/9時，數(shù)列{bn}

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數(shù)n，有S_n，

2(a-1)

an，n（a≠0，a≠1）成等差數(shù)列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n（用a，n表示）
（2）當a=

時，數(shù)列{b_n}是否存在最小項，若有，請求出第幾項最小；若無，請說明理由；
（3）若{b_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，請求出a的取值范圍．

數(shù)學人氣：835 ℃時間：2020-07-03 17:51:02

優(yōu)質(zhì)解答

（1）由題意

a-1

an=Sn+n①
∴

a-1

an+1=Sn+1+n+1②
②-①得

a-1

an+1=

a-1

an+1，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a為公比的等比數(shù)列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由

a-1

a1=a1+1?a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1
（2）a=

時，bn=n(

)nlg

，bn+1-bn=

8-n

)n?lg

當n＜8時，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
當n=8時，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
當n＞8時，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小項且第8項和第9項最小
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
當a＞1時，得（n+1）a-n＞0，即a＞

n+1

，顯然恒成立，∴a＞1
當0＜a＜1時，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即a＜

n+1

，∴a＜

，∴0＜a＜

綜上，a的取值范圍為(0，

)∪(1，+∞)．

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