雙曲線x2/a2-y2/b2=1的離心率e=2根號(hào)3/3,過a(a.0),b(0,-b)的直線到原點(diǎn)的距離是根號(hào)3/2,求雙曲線的方程

數(shù)學(xué)人氣：895 ℃時(shí)間：2019-11-23 02:34:33

優(yōu)質(zhì)解答

e＝c/a＝√（a^2＋b^2）/a＝2√3/3,∴（a^2＋b^2）/a^2＝4/3,∴1＋b^2/a^2＝4/3,
∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.
∵A（a,0）、B（0,－b）,∴AO⊥BO、且OA＝a、OB＝b、AB＝√（a^2＋b^2）.
在直角三角形中,顯然有弦乘弦高＝勾股相乘,∴（√3/2）√（a^2＋b^2）＝ab,
∴（3/4）（a^2＋b^2）＝a^2b^2.將a^2＝3b^2代入其中,得：
（3/4）（3b^2＋b^2）＝3b^4,∴b^2＝1,進(jìn)而得：a^2＝3.
∴滿足條件的雙曲線方程是x^2/3－y^2＝1.