等價就是用一系列初等行列變換的兩個矩陣,只要秩相等,兩個矩陣就都能化為標(biāo)準(zhǔn)形,對角線有r=r(A)個1,其余為0的矩陣.
第二個結(jié)論不對,相似矩陣跡相等,但跡相等不一定相似.
第二題根本沒看明白,是說A寫成兩個可逆矩陣的乘積嗎?那是向量組的等價，不是矩陣的等價。當(dāng)然可以證明兩者之間是等價的一個問題。第二題看明白了，是兩個向量的乘積，不是矩陣。A=xy^T,x y都非零，則Ax=xy^Tx=(y^Tx)x，注意y^Tx是一個實數(shù)，故x是特征向量，y^Tx就是對應(yīng)的特征值。