三角形“四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用

一、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用
命題一　已知 是不共線的三點(diǎn), 是 內(nèi)一點(diǎn),若 ．則 是 的重心．
證明：如圖1所示,因?yàn)?,
所以 ．
以 , 為鄰邊作平行四邊形 ,
則有 ,
所以 ．
又因?yàn)樵谄叫兴倪呅?中, 交 于點(diǎn) ,
所以 , ．
所以 是 的邊 的中線．
　　故 是 的重心．
　　點(diǎn)評(píng)：①解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；②把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法．
　　例1　如圖2所示, 的重心為 為坐標(biāo)原點(diǎn), , , ,試用 表示 ．


設(shè) 交 于點(diǎn) ,則 是 的中點(diǎn),
圖2
而
點(diǎn)評(píng)：重心問題是三角形的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),充分利用重心性質(zhì)及向量加、減運(yùn)算的幾何意義是解決此類題的關(guān)鍵．
變式：已知 分別為 的邊 的中點(diǎn)．則 ．
證明：如圖的所示,
圖3
　
　 ．．
　　變式引申：如圖4,平行四邊形 的中心為 , 為該平面上任意一點(diǎn),

則 ．
　　證明： , ,
　　 ．
點(diǎn)評(píng)：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則,證法2運(yùn)用了向量加法的平行四邊形法則．（2）若 與 重合,則上式變?yōu)?0．
二、三角形的外心的向量表示及應(yīng)用
命題二：已知 是 內(nèi)一點(diǎn),滿足 ,則點(diǎn) 為△ABC的外心.
例2 已知G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A（-1,0）,B（1,0）,且 ∥ ,（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）若直線 過點(diǎn)（0,1）,并與曲線交于P、Q兩點(diǎn),且滿足 ,求直線 的方程.解 （1）設(shè)C（x,y）,則G（ ）,
其中 ,
由于 ∥ ,
故 ,
外心M（0, ）,
,得
軌跡E的方程是
（2）略.
三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用
命題三：已知 是 內(nèi)一點(diǎn),滿足 ,則點(diǎn)G為垂心.（2005全國文12）
證明:由 .
即
則
所以P為 的垂心.
點(diǎn)評(píng)：本題將平面向量有關(guān)運(yùn)算、“數(shù)量積為零,則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合.
變式：若H為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且
則點(diǎn)H是△ABC的垂心
B
C
H
A
圖6
證明:
0
即 0
同理 ,
故H是△ABC的垂心

四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用
命題四：O是內(nèi)心 的充要條件是
變式1：如果記 的單位向量為 ,則O是 內(nèi)心的充要條件是
變式2：如果記 的單位向量為 ,則O是 內(nèi)心的充要條件也可以是 .
例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),滿足 , ,則P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心 .
P

E
C
O
A
B
D
圖7
如圖 由已知
,
,
設(shè) , ,
D、E在射線AB和AC上.

AP是平行四邊行的對(duì)角線.
又,
ADPE是菱形.
點(diǎn)P在即的平分線上.
故P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

五、三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用
命題五：設(shè)△ABC的外心為O,則點(diǎn)G為△ABC重心的充要條件為：
圖8
證明：如圖8,設(shè)G為重心,連結(jié)AG并延長,交BC于D,則D為BC的中點(diǎn).
∴
反之,若 ,
則由上面的證明可知：
設(shè)D為BC的中點(diǎn),則 ,
從而 ,
∴G在中線AD上且AG= AD,即G為重心.
六、三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用
命題六：設(shè)△ABC的外心為O,則點(diǎn)H為△ABC的垂心的充要條件是 .
證明：如圖2,若H為垂心,以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC,
圖9
則
∵O為外心,
∴OB=OC,
∴平行四邊形OBDC為菱形
∴ OD⊥BC,而AH⊥BC,
∴ AH∥OD,
∴存在實(shí)數(shù) ,使得
∴ ①.
同理,存在實(shí)數(shù) , ,使得
②
③
比較①、②、③可得, ,
∴
反之,若 ,則 ,
∵ O為外心,∴OB=OC
∴
∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC.
∴ H為垂心.
例6、已知H是△ABC的垂心,且AH=BC,試求∠A的度數(shù)
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,點(diǎn)O是外心.
∵ H是△ABC的垂心
∴
∴
∴
∵,
∴
∵AH=BC,
∴
∴
而∠A為△ABC的內(nèi)角,
∴ 0＜2A＜360° 從而2A=90°或270°
∴ ∠A的度數(shù)為45°或135°.
七、三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用
命題七：△ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H,則O、G、H三點(diǎn)共線（O、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線）,且OG= GH.
圖10
證明：如圖10,由命題五、六知,連結(jié)AG并延長,交BC于D,則D為BC的中點(diǎn).
, ,
∴
∴O、G、H三點(diǎn)共線,且OG= GH.
例7、已知O（0,0）,B（1,0）,C（b,c）,是 OBC的三個(gè)頂點(diǎn).試寫出 OBC的重心G,外心F,垂心H的坐標(biāo),并證明G、F、H三點(diǎn)共線.（2002年全國）
重心G為 ,設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為
∵ ,BC=(b-1,c),
,故
H點(diǎn)的坐標(biāo)為
設(shè)外心F的坐標(biāo)為 由|FO|=|FC|,得 ,
所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（ , ）.
從而可得出GH=（ , ）,FH=（ , ）
,GH∥FH,F、G、H三點(diǎn)共線.
點(diǎn)評(píng)：向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容,而且是解在關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的重要工具.它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化,將坐標(biāo)與向量結(jié)合起來,從而使一些難題在思路上獲得新的突破.
例8、已知P是非等邊△ABC外接圓上任意一點(diǎn),問當(dāng)P位于何處時(shí),PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值.
如圖11,設(shè)外接圓半徑為R,點(diǎn)O是外心,則
圖11
PA2+PB2+PC2=
（由命題六知：H為垂心,）
∴當(dāng)P為OH的反向延長線與外接圓的交點(diǎn)時(shí),有最大值6R2+2R·OH
當(dāng)P為OH的延長線與外接圓的交點(diǎn)時(shí),有最小值6R2－2R·OH