①選項A．由A與B合同，知存在可逆矩陣C，使得C^TAC=B，因此R（A）=R（C^TAC）=R（B），但反之，不成立，故A錯誤；
②選項B．由于A與B相似，則存在可逆矩陣P，使得P^-1AP=B；而A與B合同，是指存在可逆矩陣C，使得C^TAC=B，P與C、P^-1與C^T不一定相等，故B錯誤；
③選項C．由于對稱矩陣合同的充分必要條件就是正負慣性指數(shù)相同，也就是正負特征值的個數(shù)相同，因此C正確；
④選項D．tr（A）=tr（B）只能說明兩個矩陣的跡相同，即特征值之和相同，這與兩個矩陣合同毫無關系．
故選：C．