∵x²+1＞0恒成立，∴函數(shù)的定義域為R．
若x=0，則f（x）=0，
若x≠0時，f（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
若x＞0，x+

1

x

≥2

x? 1 x

＝2，此時0＜

2

x+ 1 x

≤1，
若x＜0，則x+

1

x

≤?2

(?x)? 1 ?x

＝?2，此時-1≤

2

x+ 1 x

＜0，
綜上-1≤f（x）≤1，即函數(shù)的值域為[-1，1]．
f（-x）=

?2x

x2+1

＝?f(x)，即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=

2?2x2

(x2+1)2

，
由f′（x）＞0解得 2-2x²＞0，即x²＜1，解得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0解得 2-2x²＜0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．