證明:
假設(shè)O是三角形ABC的垂心成立,并設(shè)三邊AB,AC,BC上的垂足分別是F,E,D,則有
OA^2=AE^2+OE^2
BC^2=BE^2+EC^2
則有
OA^2+BC^2
=AE^2+OE^2+BE^2+EC^2
=(AE^2+BE^2)+(OE^2+EC^2)
=AB^2+OC^2
又有
OB^2=OF^2+FB^2
AC^2=AF^2+CF^2
則有
OB^2+AC^2
=OF^2+FB^2+AF^2+CF^2
=(OF^2+AF^2)+(FB^2+CF^2)
=OA^2+BC^2
所以有
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2=OC^2+AB^2
與已知條件符合,所以假設(shè)成立
所以O(shè)是三角形ABC的垂心
所以AB⊥OC