世紀以來,原有的幾何和代數(shù)已難以解決當時生產(chǎn)和自然科學(xué)所提出的許多新問題,例如：如何求出物體的瞬時速度與加速度?如何求曲線的切線及曲線長度（行星路程）、矢徑掃過的面積、極大極小值（如近日點、遠日點、最大射程等）、體積、重心、引力等等；盡管牛頓以前已有對數(shù)、解析幾何、無窮級數(shù)等成就,但還不能圓滿或普遍地解決這些問題.當時笛卡兒的《幾何學(xué)》和瓦里斯的《無窮算術(shù)》對牛頓的影響最大.牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統(tǒng)一為兩類算法：正流數(shù)術(shù)（微分）和反流數(shù)術(shù)（積分）,反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》、1676年的《曲線求積術(shù)》三篇論文和《原理》一書中,以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數(shù)》中.所謂“流量”就是隨時間而變化的自變量如x、y、s、u等,“流數(shù)”就是流量的改變速度即變化率,寫作等.他說的“差率”“變率”就是微分.與此同時,他還在1676年首次公布了他發(fā)明的二項式展開定理.牛頓利甩它還發(fā)現(xiàn)了其他無窮級數(shù),并用來計算面積、積分、解方程等等.1684年萊布尼茲從對曲線的切線研究中引入了和拉長的S作為微積分符號,從此牛頓創(chuàng)立的微積分學(xué)在大陸各國迅速推廣.
微積分的出現(xiàn),成了數(shù)學(xué)發(fā)展中除幾何與代數(shù)以外的另一重要分支——數(shù)學(xué)分析（牛頓稱之為“借助于無限多項方程的分析”）,并進一步進進發(fā)展為微分幾何、微分方程、變分法等等,這些又反過來促進了理論物理學(xué)的發(fā)展.例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲線的解答,這是變分法的最初始問題,半年內(nèi)全歐數(shù)學(xué)家無人能解答.1697年,一天牛頓偶然聽說此事,當天晚上一舉解出,并匿名刊登在《哲學(xué)學(xué)報》上.伯努利驚異地說：“從這鋒利的爪中我認出了雄獅”.
（2）牛頓在光學(xué)上的成就
牛頓的《光學(xué)》是他的另一本科學(xué)經(jīng)典著作（1704年）.該書用標副標題是“關(guān)于光的反射、折射、拐折和顏色的論文”,集中反映了他的光學(xué)成就.
第一篇是幾何光學(xué)和顏色理論（棱鏡光譜實驗）.從1663年起,他開始磨制透鏡和自制望遠鏡.在他送交皇家學(xué)會的信中報告說：“我在1666年初做了一個三角形的玻璃棱鏡,以便試驗?zāi)侵念伾F(xiàn)象.為此,我弄暗我的房間……”接著詳細敘述了他開小孔、引陽光進行的棱鏡色散實驗.關(guān)于光的顏色理論從亞里士多德到笛卡兒都認為白光純潔均勻,乃是光的本色.“色光乃是白光的變種.牛頓細致地注意到陽光不是像過去人們所說的五色而是在紅、黃、綠、藍、紫色之間還有橙、靛青等中間色共七色.奇怪的還有棱鏡分光后形成的不是圓形而是長條橢圓形,接著他又試驗“玻璃的不同厚度部分”、“不同大小的窗孔”、“將棱鏡放在外邊”再通過孔、“玻璃的不平或偶然不規(guī)則”等的影響；用兩個棱鏡正倒放置以“消除第一棱鏡的效應(yīng)”； 取“來自太陽不同部分的光線,看其不同的入射方向會產(chǎn)生什么樣的影響”；并“計算各色光線的折射率”,“觀察光線經(jīng)棱鏡后會不會沿曲線運動”；最后才做了“判決性試驗”：在棱鏡所形成的彩色帶中通過屏幕上的小孔取出單色光,再投射到第二棱鏡后,得出核色光的折射率（當時叫“折射程度”）,這樣就得出“白光本身是由折射程度不同的各種彩色光所組成的非勻勻的混合體”.這個驚人的結(jié)論推翻了前人的學(xué)說,是牛頓細致觀察和多項反復(fù)實驗與思考的結(jié)果. 在研究這個問題的過程中,牛頓還肯定：不管是伽利略望遠鏡（凹、凸）還是開普勒望遠鏡（兩個凸透鏡）,其結(jié)構(gòu)本身都無法避免物鏡色散引起起的色差.他發(fā)現(xiàn)經(jīng)過仔細研磨后的金屬反射鏡面作為物鏡可放大 30～40倍.1671年他將此鏡送皇家學(xué)會保存,至今的巨型天文望遠鏡仍用牛頓式的基本結(jié)構(gòu).牛頓磨制及拋光精密光學(xué)鏡面的方法,至今仍是不少工廠光學(xué)加工的主要手段.
《光學(xué)》第二篇描述了光照射到疊放的凸透鏡和平面玻璃上的“牛頓環(huán)”現(xiàn)象的各種實驗.除產(chǎn)生環(huán)的原因他沒有涉及外,他作了現(xiàn)代實驗所能想到的一切實驗,并作了精確測量.他把干涉現(xiàn)象解釋為光行進中的“突發(fā)”或“切合”,即周期性的時而突然“易于反射”,時而“易于透射”,他甚至測出這種等間隔的大小,如黃橙色之間有一種色光的突發(fā)間隔為 1／89 000英寸（即現(xiàn)今 2 854×10-10米）,正好與現(xiàn)代波長值5 710×10-10米相差一半!
《光學(xué)》第三篇是“拐折”（他認為光線被吸收）即衍射、雙折射實驗和他的31個疑問.這些衍射實驗包括頭發(fā)絲、刀片、尖劈形單縫形成的單色窄光束“光帶”（今稱衍射圖樣）等10多個實驗.牛頓已經(jīng)走到了重大發(fā)現(xiàn)的大門口卻失之交臂.他的31個疑問極具啟發(fā)性,說明牛頓在實驗事實和物理思想成熟前并不先作絕對的肯定.牛頓在《光學(xué)》一、二篇中視光為物質(zhì)流,即由光源發(fā)出的速度、大小不同的一群粒子,在雙折射中他假設(shè)這些光粒子有方向性且各向異性.由于當時波動說還解釋不了光的直進,他是傾向于粒子說的,但他認為粒子與波都是假定.他甚至認為以太的存在也是沒有根據(jù)的.
在流體力學(xué)方面,牛頓指出流體粘性阻力與剪切率成正比,這種阻力與液體各部分之間的分離速度成正比,符合這種規(guī)律的（如、空氣與水）稱為牛頓流體. 在熱學(xué)方面,牛頓的冷卻定律為：當物體表面與周圍形成溫差時,單位時間單位面積上散失的熱量與這一溫差成正比.
在聲學(xué)方面,他指出聲速與大氣壓強平方根成正比,與密度平方根成反比.他原來把聲傳播作為等溫過程對待,后來 P.S.拉普拉斯糾正為絕熱過程.